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多元函数微分学*题课 (2)

发布时间:

多元函数微分学 *题课

一、主要内容
*面点集 和区域
极限运算
多元连续函数 的性质

多元函数概念
多元函数 的极限
多元函数 连续的概念

方向导数
复合函数 求导法则
全微分形式 的不变性

全微分 概念
偏导数 概念

多元函数的极值

全微分 的应用
高阶偏导数
隐函数 求导法则 微分法在 几何上的应用

1、多元函数的极限 说明:(1)定义中 P ? P0 的方式是任意的;
(2)二元函数的极限运算法则与一元 函数类似. 存在性 ——定义,夹逼定理
不存在 ——特殊路径、两种方式
求法 ——运算法则、定义验证、夹逼定理
消去致零因子、化成一元极限等
2、多元函数的连续性

lim
P ? P0

f (P) ?

f (P0 )

3、偏导数概念
定义、求法 偏导数存在与连续的关系 高阶偏导数——纯偏导、混合偏导
4、全微分概念

定义 可微的必要条件

可微的充分条件

利用定义验证不可微

多元函数连续、可导、可微的关系

函数连续

函数可导

函数可微 偏导数连续

6、全微分形式不变性

无论 z是自变量u、v的函数或中间变量u、v 的函数,它的全微分形式是一样的.
dz ? ?z du ? ?z dv . ?u ?v
7、隐函数的求导法则

(1) F( x, y) ? 0 (2) F( x, y, z) ? 0

(3)

?F(x, y,z) ? 0 ??G( x, y, z) ? 0

?z ? ? Fx , ?z ? ? Fy ?x Fz ?y Fz

(4)

?F ( x, y,u,v) ? 0 ??G( x, y,u,v) ? 0

5、复合函数求导法则

z ? f (u,v), u ? u( x, y), v ? v( x, y)

?z ? ?z ? ?u ? ?z ? ?v ?x ?u ?x ?v ?x

?z ? ?z ? ?u ? ?z ? ?v ?y ?u ?y ?v ?y

2 ? 2法则

“分道相加,连线相乘”
法则的推广——任意多个中间变量,任意多 个自变量

如何求二阶偏导数

求隐函数偏导数的方法
①公式法 ②直接法 ③全微分法
8、微分法在几何上的应用
(1) 空间曲线的切线与法*面 (2) 曲面的切*面与法线 求直线、*面的方程 定点(过点)、定向(方向向量、法向量) 曲线:参数式,一般式给出
曲面:隐式、显式给出

9、方向导数与梯度
定义 计算公式(注意使用公式的条件) 梯度的概念——向量 梯度与方向导数的关系
10、多元函数的极值
极值、驻点、必要条件
充分条件 (B2 ? AC ? 0)
求函数z ? f ( x, y)极值的一般步骤:

最值 条件极值,目标函数、约束条件 构造 Lagrange 函数
F(x, y,z) ? f (x, y,z) ? ??(x, y,z)

二、典型例题

例1 求极限 lim ( y ? x)x .

x ? y x?0

2

2

y?0

解 令 x ? ? cos? , y ? ? sin? ,

(? ? 0)

则 ( x, y) ? (0,0) 等价于 ? ? 0.

( y ? x)x ? 2 (sin? ? cos? )cos?

0?

?

x2 ? y2

?

? ? (sin? ? cos? )cos? ? 2? ,

故 lim ( y ? x)x ? 0.

x ? y x?0

2

2

y?0

例2 已知 w ? f (x ? y, y ? z,t ? z)



?w ? ?w ? ?w ? ?w ?x ?y ?z ?t



?w ?x

?

f1

?w ?y

?

?

f1

?

f2

?w ?z

?

?

f2

?

f3

?w ?t

?

f3

?

?w ?x

?

?w ?y

?

?w ?z

?

?w ?t

?

0

例3 已知 z ? sin(ax ? by ? c) 求

?m?nz ?x m ?y n

解 ?z ? a cos(ax ? by ? c)

?x ? a sin( ax ? by ? c ? ? )

??? ?2z
?x2

?

a2

sin(ax

?

by

?

c

2 ? 2?

?
2

)

?mz ?xm

?

am

sin(ax

?

by

?

c

?

m

??
2

)

??? ?m?1z
?xm?y

?

ambsin(ax

?

by

?

c

?

m?
2

?

?)
2

?m?nz ?xm?yn

?

ambn

sin(ax

?

by

?

c

?

(m

? n)?
2

)

例4 设 z ? x3 f ( xy, y ), ( f 具有二阶连续偏导数), x
求 ?z , ?2z , ?2z . ?y ?y2 ?x?y



?z ?y

?

x3 ( f1?x ?

f

?
2

1 x

)

?

x4 f1??

x2 f2?,

?2z ?y2

?

x4( f1?1?x ?

f1?2?

1 x

)

?

x2

(

f

??
21

x

?

f2?2?

1 x

)

?

x5

f1?1? ?

2x3

f1?2?

?

xf

??
22

,

?

x5

f1?1? ?

2x3

f1?2?

?

xf

??
22

,

?2z ?x?y

? ?2z ?y?x

?

? ?x

(

x4

f1? ?

x2 f2?)

? 4 x3 f1??

x4[ f1?1?y ?

f1?2?(?

y x2

)]

?

2

xf

?
2

?

x

2[

f

??
21

y

?

f

??
22

(

?

y x2

)]

?

4x3

f1? ?

2

xf

?
2

?

x4 yf1?1? ?

yf

??
22

.

例5 设 u ? f ( x, y, z), ? ( x2 ,e y , z) ? 0, y ? sin x,

( f ,? 具有一阶连续偏导数),且 ?? ? 0, 求 du .



du

?

?f

?

?f

? dy

?

?f

dz ,

?z
显然

dx ?x ?y dx ?z dx

dx
dy ? cos x, dx

求 dz , 对 ? ( x2,e y , z) ? 0 两边求 x 的导数,得
dx

?

?
1

?

2x

?

?

?
2

?

e

y

dy dx

?

?

?
3

dz dx

?

0

,

于是可得,

dz dx

?

?

1

?

?
3

(

2

x?

?
1

?

esin x

?

cos

x?

?
2

),



du dx

?

?f ?x

?

cos

x

?f ?y

?

1

?

?
3

(2

x?

?
1

?

esin x

?

cos

x?

?
2

)

?f ?z

.

例6 设 x ? y ? z ? e?( x? y?z) 求

?2z ?x 2

,

?2z ?x?y

,

?2z ?y2

解一 记 F ( x, y, z) ? x ? y ? z ? e?( x? y?z)

则 Fx ? Fy ? Fz ? 1 ? e?( x? y?z)

? ?z ? ?z ? ?1 ?x ?y

?

?2z ?x 2

?

?2z ?x?y

?

?2z ?y2

?0

解二 方程两边对 x 求偏导

1 ? ?z ? ?e?( x? y?z)(1 ? ?z )

?x

?x

? (1 ? ?z )[1 ? e?( x? y?z) ] ? 0 ?x

? ?z ? ?1 由轮换对称性 ?z ? ?1

?x

?y

?

?2z ?x 2

?

?2z ?x?y

?

?2z ?y2

?0

解三 两边取全微分
dx ? dy ? dz ? ?e?(x? y?z)(dx ? dy ? dz)

? [1 ? e?(x? y?z)](dx ? dy ? dz) ? 0
? dx ? dy ? dz ? 0 即 dz ? ?dx ? dy

? ?z ? ?z ? ?1 ?x ?y

?2z ?2z ?2z ? ?x2 ? ?x?y ? ?y2

?0

例7 在半径为R的圆的一切内接三角形中, 求其面积最大者
解 如图若以 x ,y , z 表示三角形的
三边所对的圆心角,则 x ? y ? z ? ?
三角形的面积 A ? 1 R2(sin x ? sin y ? sin z) 2

问题就是求A在条件

x ? y ? z ? ? (0 ? x, y,z ? ? )

zy

x

下的最大值 记

F( x, y, z) ? (sin x ? sin y ? sin z) ? ?( x ? y ? z ? 2? )

???FFxy

? ?

cos cos

x y

? ?

? ?

? ?

0 0

?? Fz ? cos z ? ? ? 0

? cos x ? cos y ? cos z
? x ? y ? z ? 2?
3

?

Amax

?

33 4

R2

例8



u

?

x2 a2

?

y2 b2

?

z2 c2

在点

M (x0,

y0, z0 )

处沿点

的向径 r0 的方向导数,问 a,b, c 具有什么关系时

此方向导数等于梯度的模 ?

? ? 解

? r0 ? x0 , y0 , z0 ,

r0 ?

x2 0

?

y2 0

?

z2 0

,

cos? ? x0 , cos ? ? y0 , cos? ? z0 .

r0

r0

r0

? 在点 M 处的方向导数为

?u ?r0

M

?

?u ?x

M

cos?

?

?u ?y

M

cos ?

?

?u ?z

M

cos ?

? 2 x0 x0 ? 2 y0 y0 ? 2z0 z0 a2 r0 b2 r0 c2 r0

2 x2 y2 z2 ? ( 0 ? 0 ? 0)
r0 a2 b2 c2

? 2u( x0 , y0 , z0 ) .

x2 0

?

y2 0

?

z2 0

? 在点 M 处的梯度为

gradu

M

?

?u ?x

Mi

?

?u ?y

M

j

?

?u ?z

Mk

? 2 x0 i ? 2 y0 j ? 2z0 k,

a2

b2

c2

x2 y2 z2

gradu ? 2 0 ? 0 ? 0 ,

M

a4 b4 c4

当 a ? b ? c 时,

?

2

gradu ?

a M

2

x2 ? y2 ? z2,

0

0

0

?u ?r0

M

?

2 (x2 ? y2 ? z2)

a2

0

0

0

x2 0

?

y2 0

?

z2 0

?

2 a2

x2 0

?

y2 0

?

z2 0

,

?u

?

?r0

M

?

gradu , M

故当 a,b,c 相等时,此方向导数等于梯度的模.

例9 求旋转抛物面 z ? x2 ? y2 与*面 x ? y ? 2z ? 2 之间的最短距离. 解 设 P( x, y, z) 为抛物面 z ? x2 ? y2 上任一点,则 P 到*面 x ? y ? 2z ? 2 ? 0的距离为d,
d ? 1 x ? y ? 2z ? 2. 6
分析: 本题变为求一点P( x, y, z),使得 x, y, z
满足 x2 ? y2 ? z ? 0且使 d ? 1 x ? y ? 2z ? 2 6
(即 d 2 ? 1 ( x ? y ? 2z ? 2)2 ) 最小. 6

令 F ( x, y, z) ? 1 ( x ? y ? 2z ? 2)2 ? ?(z ? x2 ? y2 ), 得
6

? ?

Fx?

?

1(x 3

?

y

?

2z

?

2)

?

2?x

?

0,

(1)

?

?? ?

Fy?

?

1(x 3

?

y

?

2z

?

2) ?

2?y

?

0,

(2)

? ?Fz? ?

?

1(x 3

?

y

?

2z

?

2)(?2)

?

z

?

0,

(3)

??z ? x2 ? y2 ,

(4)

解此方程组得 x ? 1 , y ? 1 , z ? 1 . 4 48

即得唯一驻点 (1 , 1 , 1), 448

根据题意距离的最小值一定存在,且有唯一 驻点,故必在(1, 1, 1) 处取得最小值.
448

dmin ?

1 1?1?1?2 ? 7 .

64 4 4

46

例10 试求曲面 xyz=1上任一点 (? , ? ,? )
处的法线方程和切*面方程 并证明切*面与三个坐标面所围成的 四面体的体积是一个常量
证 设 F( x, y, z) ? xyz ? 1 Fx ? yz, Fy ? xz, Fz ? xy
法线 x ? ? ? y ? ? ? z ? ? ?? ?? ??
切*面 ?? ( x ?? ) ? ?? ( y ? ? ) ? ?? (z ? ? ) ? 0



??x ? ??y ? ??z ? 3

切*面在三个坐标轴上的截距分别为
3 ? 3? , 3 ? 3? , 3 ? 3? ?? ?? ??
故切*面与三个坐标面所围成的四面体的体积为

V ? 1 ? 底面积 ?高 3

? 1[1 | 3? | ? | 3? | ? | 3? |]
32

? 9 |??? | ? 9 是一个常量

2

2

例11 设 y = f ( x ,t ) 而 t 是由 F (x ,y ,t) =0 确定的

关于x ,y 的函数 ,试证明

dy ? f xFt ? Fx ft

证一

dx ft Fy ? Ft
方程组 ? y ? f ( x,t)

??F ( x, y,t) ? 0

确定了两个一元隐函数 y =y (x) , t =t ( x )

两边分别对 x 求导得

?????Fyddddxyxy??

dt ft dx ?

Ft

dt dx

?

fx ? Fx

解得 dy ? f xFt ? Fx ft dx ft Fy ? Ft

证二 本题主要是弄清楚函数关系 ,具体求导则 很简单,

初看起来似乎 y 是 x 的显函数y = f ( x ,t ) ,

但由F ( x , y , t ) =0 可得 t = t ( x , y ) ,代入

y = f ( x ,t ) 得

y=f[x,t(x,y)]

这是y = y ( x ) 的隐函数表示形式

按题意t = t ( x , y ) 满足F ( x , y , t ) =0
故 ?t ? ? Fx ?t ? ? Fy ?x Ft ?y Ft

由t = t ( x , y ) 得 dt ? ?t ? ?t ? dy
dx ?x ?y dx
又t = t ( x , y ) 满足y = f ( x ,t ) ,故

dy dx

?

fx

?

dt ft dx

从而 解得

dy dx

?

fx

?

f

t

(

?t ?x

?

?t dy ) ?y dx

dy ? f xFt ? Fx ft dx ft Fy ? Ft

例12 ?x ? u ? v

曲面

? ?

y

?

uev

??z ? u ? v

在u ? v ? 0处的切*面方程为:

x?2y? z ? 0




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